Ułamkom десятичной стукнуло 430 лет.

Эту круглую годовщину можно было бы, правда, спросить, потому что достойный виновник торжества с запятой вынырнул, он был уже в ведической математике, то есть по крайней мере несколько сотен лет до нашей эры, а позднее-и здесь и там его doświadczano – однако почти до конца XVI века, происходило это редко и как будто спокойно. Прорыв, после которого навсегда изменял в математике, наступил только после публикации в 1585 году книги под названием De Thiende (в буквальном переводе – „Десятина”). Ее автор, фламандский математик Simon Stevin, убедительно обосновывал необходимость использования дробей десятичных. Главным аргументом было то, что сравнение дробей обыкновенных хлопотно. Например, чтобы продемонстрировать, что 28/65-это больше, чем 13/31, необходимо привести числа к общему знаменателю (2015); а в случае соответствующих им десятичных дробей сразу видно, что 0,43..>0,42.. На одной из главных площадей Брюгге, родного города Stevina, Бельгийцы построили uczonemu памятник (на фото), в честь, между прочим, ради выгоды им десятичных дробей (Stevin свой собственный счет еще в 1585 году издал французский перевод De Thiende, а чуть позже английский).

Уже в XVII веке математики заметили, что десятичные дроби они довольно загадочные. Они возникают, как известно, в процессе „переработки” дробей обычных, заключающегося в разделении счетчика через знаменатель.

Давайте договоримся, что в данной статье сырье всегда „чистый”, т. е. правильный (числитель меньше знаменателя) и nieskracalny (числитель и знаменатель относительно первых и, следовательно, не имеют общих podzielników). Продукт будет так всегда начинался с нуля, предшествующего запятая. Нас интересует только то, что происходит после запятой, то есть долю в строгом смысле этого слова, как часть целого.

Десятичную дробь можно классифицировать. Основой разделения является сохранение сырья, то есть обычной дроби а/b в виде a/2m5nk. Точнее, показатели мощностей (м и n) являются отрицательными, а число k>0 и неделима в течение 2 и 5. Для каждой из этих трех переменных, у нас есть две возможности: k=1 или k>1, m=0 или m>0, n=0 или n>0. В сумме дает это восемь комбинаций из трех различных переменных, но осмысленными и эффективными являются три:

И k=1 и, по крайней мере, один показатель больше нуля.

Примеры: 45/64=0,703125; 7/25=0,28; 3/40=0,075.

II k>1, m=0, n=0.

Примеры: 4/9=0,44444..; 8/11=0,727272..; 3/7=0,428571428571428..

III k>1 и хотя бы один показатель больше нуля.

Примеры: 5/6=0,833333..; 8/75=0,1066666..; 21/88=0,238636363..

В варианте И возникают дроби закончено, в вариантах II и III бесконечные, которые всегда периодически, а так от какого-то знака после запятой появляется в них цикл, то есть повторяющийся в бесконечность цифра или группа цифр. В долях в варианте II цикл начинается сразу после запятой, в варианте III предшествует так называемый przedokresem сложной сзади цифр, сколько составляет значение большее с wykładników держав.

Бесконечная периодичность гораздо интереснее и более призрачной-от конечных. Связаны с ней вопросы, на которые математики искали или еще ищут ответы. Основные можно свести к следующему конкретного примера: используя только бумагу и карандаш, необходимо определить длину цикла (периода) десятичное обратному 2015; можно ли в этой целью необходимо выполнить, наверное, долго и нудно делить 1/2015, или вы можете воспользоваться каким-либо краткого, умного способа, например, формулы или алгоритма?

Рис. 1

Почему вообще цикл должен быть? На рис. 1 показана запись в столбик и деления 1:7, ведет до самого „развлекательного” периодической дроби. Красные числа – остальных из dzieleń частичных – всегда меньше, чем 7, то есть в размере только 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Далеко, так что после шестого обмене частичном одна из них повторится и после dopisaniu нуля создаст смелой, которая была уже в стойке раньше. Это означает повторение части стойки, а так же группы цифр в десятичной доли, которая отныне „попадет в цикл”. В обмене 1:7 там повторяется красный секстет в порядке: 1-3-2-6-4-5. В доли десятичной отвечает ему группа 142857. Следовательно, период десятичной дроби, полученной из обычной дроби a/b состоит из более b-1 цифр. Этот вывод можно уточнить: срок включает в себя более столько цифр, сколько чисел, относительно первых с b меньше, чем b (это следует из того факта, что относительно первых, числитель и знаменатель – безраздельно через 2 и 5 – так еще и каждый остаток от деления частичного и знаменатель). Количество этих цифр, называется функцией Эйлера, обозначаемая греческой буквой?. Для b , входящую в число первой? (b) равна, очевидно, b-1, т. е.? (7)=6, но, например,? (21)=12, то есть период дроби с знаменателем, равным 21 не может быть больше, чем 12-значный, потому что столько чисел относительно первых с 21 меньше, чем 21.

Период дроби с рис. 1 (142857) известен в математике отдыха из-за на веб-специфическое свойство:

2×142857=285714

3×142857=428571

4×142857=571428

5×142857=714285

6×142857=857142

Каждая новая (меньше 7) кратное 142857 возникает при циклическом переключении цифр в этом числе. Из красных и фиолетовых цифр в записи деления на рис. 1 легко сделать вывод, почему так происходит. Аналогичные, но более сложные зависимости характерны для периодов несколько других фракций, получаемых от деления на число.

Из указанной выше собственности периода (142857), можно заключить, что продолжительность срока не зависит от значения числителя дроби-сырья и/b. Нетрудно это доказать. Если в доли не имеет przedokresu, а продолжительность периода мы через?, то после выполнения? dzieleń частичных как все остальное появится , а. Однако каждая смелая частичная возникает через добавление нуля до сдачи, так что обмен, в результате которого возникает первая цифра, цикл, по сути, персонаж: 10δа/б. Следовательно, разница 10δаа=а(10δ-1) делится на b. Так как а и b относительно-первых, таким образом, – имея в виду, что первый период заканчивается при первом появлении , а в качестве остатка от деления частичного – можно сделать вывод, что:

длина периода десятичной дроби, соответствующей дроби обычному а/b, наименьшее число? (b), для которой разность 10δ-1 делится на b.

Теперь уже мы почти уверены, что независимо от того, в течение 2015 делимся 1, 2, 28, 44, 777, или любую другую число относительно первой с 2015 – продолжительность периода полученной дроби будет всегда такой же. Почти уверен, потому что если 2015=403×5, это в доли там przedokres, который – быть может – влияет на продолжительность периода. Что przedokres ничего не меняет, легко показать на простом примере, превращая часть:

6/(7×5)=6/35=60/35/10=(1+5/7)/10

Результат-это сумма 0,1 и дроби, который не содержит przedokresu, а единственным последствием деления на 10-это сдвиг запятой на одно место, в котором появляется именно przedokresowa единица.

Как следует из заявления, выделенный рядом, чтобы определить продолжительность периода десятичное(б) десятичной дроби, соответствующей дроби обычному а/b, достаточно найти наименьшее кратное b , состоящую из одних девяток, – сколько девяток, такой значение? (b). При этом необходимо иметь в виду, что, поскольку przedokres не влияет на продолжительность периода, поэтому мы учитываем только значения b неделимое в течение 2 или 5. Образом, можно еще немного упростить, исключив также b делиться на 3 (продолжительность периода такая же, как и для k/3). Тогда dziewiątkowa кратно b изменится в jedynkową – 11111.. И будет ясно, почему в 1773 году немецкий математик Jϕohann III Бернулли опубликовал в статье десятичных дробей таблицу, часть которой представлена на рис. 2.

С помощью нее, можно определить длину периода десятичной обратного некоторых чисел, например, 23940. Начнем мы с „очищения” этого числа, кратные 2, 3 и 5, разделив ее на 4, 9 и 5. Останется 133, которую раскладываем на простые множители – 7 и 19. Сейчас в таблице мы ищем с правой стороны знака равенства произведения, содержащего оба эти факторы. Мы найдем их в равенства, которой соответствует 18 единиц, а, следовательно, результат деления 1/23940 будет фракция с 18-значным периодом (004177109440267335), следующей после двух зарай przedokresu. К сожалению, таблицы не становится, для того, чтобы справиться с периодом 1/2015.

Рис. 2

Не известен более короткий способ вычисления длины периода, чем с использованием приведенной выше таблице, которая с середины XX века, с увеличением вычислительной мощности компьютеров, систематически удлиняется. Не без значения является также то, что распределение чисел jedynkowych (называемых также repunitami) на факторы, в первую очередь, связано с так называемой теорией кодов. Сегодня таблица восходит repunitów сложных из почти полумиллиона цифр, а главным стимулом для ее увеличения является поиск jedynkowych простых чисел. До сих пор обнаруживаются их девять: 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86543, 109297, 270343 – это количество составляющих его единиц.

В конце, возвращаясь для текущего и следующего года, стоит напомнить некоторую особенность, связанную произвести вычисление с процентами и гарантийное обслуживание:

2015,999999..=2016

Почему это равенство, а не приближение – нетрудно доказать.

ЗАДАЧИ

1. (для самых стойких, программистов или.. szperaczy). Из скольких цифр состоит период десятичной дроби, являющейся противоположностью числа 2015 и какая цифра встречается в нем только один раз?

2. Пара натуральных чисел таких, что сумма делителей каждого из них равна второму числу, называется дружественными числами. Такие пары известны давно, наименьшее (220 и 284) – от древности.

Назовем дружественными ułamkami периодическими пары 0,(x) и 0,(y), для которых происходит следующим образом „креста” зависимость:

1/x=0,(y) 1/y=0,(x)

Если в течение (x) или (y) в начале равны нулю, мы пропускаем их.

Для x=y=3 мы единственная дружила пару „дочернюю”, потому что 1/3=0,(3)

Пожалуйста, найти две пары дружественных периодических дробей, то есть практически пары чисел x, y>1 – такие, в которых хотя бы одно число двузначное.

3. 5×142857=714285 – это специфическое свойство можно описать так: после передачи последней цифры в начало количество увеличилось в kраз. Каково наибольшее число 6-цифровая о такой собственности для любого полного k? Самый маленький это 102564 (не считая „количество” 000001 и другие, начинающиеся с нуля).

Решения просим присылать до 31 июля с. г. по электронной почте ([email protected]), указав в теме письма пароль UG07/15, или по почте: Мир Науки, ул. по улице rzymowskiego проходят 28, 02-697 Warszawa. Среди авторов правильных решений, по крайней мере, двух задач финале будут выбраны пять победителей, и мы награждаем их книгой Вселенная, зеркальное отражение Дэйва Голдберга ufundowaną издательством Prószyński Сми.