Чем отличается коза математическая от обычной домашней сети?

В основном тем, что на улице, что в культуре случается очень редко. Коза является животным умным и тем, кто ценит свободу. После uwiązaniu приступает к забастовки, голодовки, а точнее – начинается просто так упасть, чтобы не упасть, так что практически пользы от нее нет. Вы, наверное, не знал об этом Генри Дьюдени, автор первого задания из коза математической, опубликованной в 1900 году на страницах английского еженедельника Weekly Dispatch:

На półakrowej лугу, которая имеет форму равностороннего треугольника, талия коза привязана к столбу в углу луга. Как долго tether, если коза может съесть траву с половины треугольной поля? Мы предполагаем, что конец postronka устанавливает диапазон потребления.

Двумя годами ранее в другом британском Дьюдени поместил сдвоенные задания, где луг имела прямоугольную форму, а половину ее поверхности ogałacała из травы привязана в углу корова. Может быть, последующие замены коровы, козы было безнравственно, потому что это последнее животное, более развлекательной. В любом случае, с начала XX века математическая коза доминирует „эпичные” головоломки, изредка только уступая места другим животным.

Оба findesieclowe задачи на уровне gimnazjalnym – бы сделать урок о приходе, с учетом фрагмента круговой. Коза на треугольный луг, однако, является немного более интересным, также из-за умные решения, предложенные вами Dudeneya. Он заметил, что после sześciokrotnym увеличении луга образуется немного проще ситуация, изображенная на рис. 1. Теперь задача сводится к расчету радиуса r колеса о поверхность вдвое меньше поля данного шестиугольника. Например, при условии, что луг имеет площадь п/3, поле шестиугольника, равен 2p, а, следовательно, 2pr2=2p, т. е. r=1.

Трудно точно определить, кто первый привязал козу наиболее эффектно, то есть на краю круглого луга. Вероятно, он сделал это в начале 40-х годов. английский математик Дэн Pedoe, напоминая в „fabularyzowanej” виде на страницах популярного писания Mathematical Gazette задача немного старше, чем упомянутые головоломки Dudeneya:

Колесо, А с радиусом R вырезать колесом B, центр которой расположен на окружности А. Поле общей части обоих колес равны половине поля А. Что такое радиус r колеса Б?

Поскольку Mathematical Gazette предназначена в основном для подростковых читателей, интересующихся математикой, поэтому обогащение odkurzonego задачи о fabulkę было оправдано – круг И превратился в озеро, а радиус колеса B в tether с palikiem на одном конце – на окружности А и с коза на втором. В такой форме задача периодически возвращается, тратя на сон не только любителям ломая голову. Загвоздка кроется во – первых- в определении способа решения, во-вторых – в том, что получение решения в виде формулы на радиус, т. е. как функцию явной, невозможно. Можно только прийти к функции uwikłanej и на этой основе оценить значение радиуса. Но давайте начнем с самого начала.

Рис. 1

Классический, но довольно утомительный способ справиться с козьим postronkiem основан на wycinkach окружности. На рис. 2 точка C — это центр колеса А радиуса R, а точка О – центр колеса B с радиусом r. Теплыми цветами обозначены половину общей части обоих колес, то есть – принимая во внимание указанный в задании условие – 1/4 поверхности колеса , А. Поле этой „теплой” фигурой он создает сумма полей, желто-розового (фрагмент колеса А) и желто-оранжевого (фрагмент колеса B) уменьшается на желтый треугольник. Таким образом, вы можете, используя шаблоны на поле фрагмента окружности и треугольника, написать шаблон посадочной полосы на козлиную часть луга (углы в радианах):

S = 2(R2a/2 + r2b/2 – Rh/2)


Рис. 2


Рис. 3

Дальнейшее преобразование этой формулы стремится к ограничению к одной числа переменных. Основой преобразований являются тригонометрические зависимости в желтом треугольнике. Вы можете также использовать эти зависимости, начиная с устранения по – другому- по-новому. Новое заключается в запуске не от вырезки круговых, но от эпизодов колес, обозначенных разными цветами синим и фиолетовым на рис. 3. Узор на поле P такого участка (рис. 4) мало известен, хотя его можно найти в учебниках геометрии; его легко также вывести:

P = r2(J – sinJ)/2

Шаблон вывода, соответственно, будет выглядеть следующим образом:

S = R2(2a–sin2a)/2 + r2(2b – sin2b)/2

Очередь на преобразования – такие, чтобы справа осталась только одна переменная. Желтый треугольник на рис. 2, выступающий также на рис. 3, равнобедренный, и, следовательно:

a = p–2b

В свою очередь, после poprowadzeniu в этом треугольнике высоту из вершины C , легко заметить, что:

r = 2Rcosb

После подстановки этих двух значений в формулу для S и после перестроек получим:

S = R2(p + 2bcos2b – sin2b)

Так как S должно быть равно половине колеса А, т. е. pR2/2, таким образом, узор конечный результат, в котором единственная переменная-угол b, изменится: sin2b – 2bcos2b = p/2

Невозможно такие преобразования этой формулы, чтобы значение угла b удалось напрямую перечислить. Тем более это не возможно для радиуса r=2Rcosb. Кстати, таким образом, взять калькулятор (или использовать с компьютера) и aproksymując, определить сначала значение угла b с заданной точностью, а потом продолжительность postronka. Вот результаты после округления: b=54°35’39’, r=1,15872847Года.


Рис. 4

Задача с коза жизни, по крайней мере, несколько вариаций на тему. Изменилась форма луга и место кола, коза гуляла на улице луга, на лугу есть препятствия – высокая, обычно прямоугольная или круглая-объекты, которые коза пришлось объехать. Большинство этих изменений, однако, развлекательная иначе, то есть очень сложна для вычислений, что требует использования на пример исчисления. Не требуется, однако следующие два задания конкурсные, хотя, наверное, просто не.

1. Przyzagrodowa łączka площадью 4 соток имеет форму квадрата. В середине стороны квадрата стучал-это кол, к которому на postronku uwiązano козу. Как долго tether (с точностью до сантиметра), если коза ест траву с середины łączki?

2. Посреди безграничного, пустого луга следует привязать козла так, чтобы съедала траву с части луга в форме полукруга. Разработайте и опишите способ uwiązania (подсказка: один tether не достаточно).

Решения просим присылать до 31 января т. г. по электронной почте ([email protected]), указав в теме письма пароль UG01/15. Среди отправителей правильного решения хотя бы одной задачи финале будут выбраны пять победителей, и мы награждаем их книгой Леонарда Susskinda, Джорджа Hrabovskiego Теоретический минимум. Что нужно знать, чтобы начать заниматься физикой ufundowaną издательством Prószyński Сми.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

С октябрьского НОМЕРА
1. Новая система карт (по часовой стрелке): As-3–7-4–2-10–6-8–5-9.
2. Система карт (рядами сверху вниз): A-W-K-D/W-K-A-D/K-D-A-В/В-D-A-K.
3. В середине лежит валет (макет карт: D-K-A/В-В-D/D-K-A).

За правильное решение как минимум двух задач приз, книгу Роджера М. Hazena История Земли. От звездной пыли к живой планете, ufundowaną издательством Prószyński Сми, получают: Томаш Ковальчик, Михаил Czesio, Северная Nowaczyk, Анника Olejarz, Артур Томашевский.

Из ноябрьского НОМЕРА
1. 1 и 3 – это две клавиши, которые нажимать (в момент, когда сумма в окне калькулятора не будет меньше менее чем на 14 от суммы итоговой) обеспечивает выигрыш.
2. 13805 × 40268 = 555899740.
3. I. x+1=a; II. 1/а=1/(x+1)=b; III. 1/x=c; IV. c–b=1/x–1/(x+1)=1/(x2+x)=d; V. 1/d=x2+x=e; VI. e–x=x2 (последовательность этапов может быть немного другая).
4. Четыре решения парами „близнецы” (достаточно было найти одно): перемена местами 1-7, 2-8, 4-6, ведет к добавлению 129+654=783; 1-8, 2-7, 4-6 – 219+654=873; 1-7, 3-9, 4-5 – 183+546=729; 1-9, 3-7, 4-5 – 381+546=927.

За правильное решение как минимум двух задач
приз, книгу Мичио Каку Будущее разума, ufundowaną издательством Prószyński Сми, получают: Павел Гасиор, Джоанна Милостыня, Андрей Княжны, Ярослав Tajcher, Андрей Żołyński.