Линейки называемые условно редкими появились впервые в задании, размещенном на страницах британского журнала The Strand Magazine в сентябре 1920 года. Редактируемый отдел Генри Э. Дьюдени написал, что находится под впечатлением некоторой новой идеи, и сразу же предложил читателям прыжок в омут. На listewce длиной 33 дюймов было поставить восемь делений шкалы так, чтобы созданный таким образом редкую линейкой можно измерить любую длину дюймов от 1 до 33. Приведен был пример 13-дюймовой линейки с четырьмя линиями (0_1_4_5_11_13 – рис. 1), между которыми и между штрихами, и концами линейки – включены были все полностью в длину от одного до тринадцати дюймов: один дюйм между 0 и 1 (между 4 и 5), два между 11 и 13, три между 1 и 4 и т. д., до 12 между 1 и 13 и 13 от 0 до 13.

Рис. 1

Вода оказалась слишком глубока не только для Читателей, но и для Dudeneya, который признал, что решения есть два. Только значительно позже было установлено, что.. является их шестнадцать, и что восемью штрихами, можно обрабатывать длинную линейку, до 36-дюймовой. Решение в этом случае одно (0_1_3_6_13_20_27_31_35_36), если пропустить обратный макет тире (0_1_5_9_16_23_30_35_36). Несмотря на эти „недостатки”, кстати, считать Dudeneya предшественником математике редких строк, потому что в теории чисел эта тема появилась только в середине 40-х годов. Тогда, однако, не было речи о линейке. Ее место заняла база дифференциальное, т. е. такое подмножество B множества всех натуральных чисел от нуля до n, что каждое число из этого набора можно представить как разницу двух чисел, принадлежащих B.

Редким мы называем, следовательно, строчку, в которой количество ударов за единицу шкалы значительно меньше, чем ее длина, d, а, несмотря на это, можно ее измерить все целочисленные длины от 1 до d. Самое интересное, конечно, экстремальные и редкие линейки – их можно создавать, изменяя обычные на два способа.

Если со школьной линейки с сантиметровой шкалой мы начнем удалять черточки так, чтобы их осталось как можно меньше, но без ущерба для полностью ее возможности проверки – это восстание линейка редкая минимальная. А если такую же обычную линейку мы будем вытягиваться, сантиметр за сантиметром, не добавив тире, только их, соответственно перемещая и также заботясь о том, чтобы каждая длинная линейка была редкая, — это появление линейка max. Иначе говоря, линейка минимальная-это такая, которая при определенной длине имеет минимум штрихов, а максимальная является самой длинной из определенное количество делений.

Есть еще третий способ создания редких строк, соединяющий оба выше – сначала мы создаем линейку минимальное, удалив тире, а потом мы пытаемся ее увеличить, проводя штрихи. Если второй этап, окажется возможным, а эффекты обоих будут экстремальные, это восстание линейка редкая, называется оптимальной. Выполняется этот процесс на примере линейки 10-сантиметрового.

Черточки на линейке мы назовем знаками; знаками будут также начало и конец строчки. На обычной 10-сантиметрового строке 11 символов, которые делят ее на 10 сегментов – 0_1_2_3_4_5_6_7_8_9_10 (рис. 2а). Удаление символов удобнее всего начать с избавления от всех, кроме тех, которые должны оставаться, т. е. крайними. Возникновение 1-дистанционная линейка 0_10 (рис. 2b). Сейчас количество дистанций, постепенно увеличиваем. Добавив, например, два символа создадим линейку 0_1_7_10 (рис. 2c) – прибыло пять дистанций: 1, 3, 6, 7, 9. Если бы сейчас поставить еще один знак так, чтобы образовалась редкая линейка, а так, чтобы диапазон измерений был дополнен 2, 4, 5, 8? Легко проверить, что это не возможно. Минимальная линейка длиной „10” должен иметь шесть символов. Таких различных строк, однако, до 19, так что следует предположить, что „куш” удастся продлить, то есть увеличить ее объем, одновременно, просто перемещая персонажей, без их добавления. Действительно, самая длинная, то есть максимальная, а в этом случае также оптимальная линейка с шестью символами-это „тринадцатая”. Ее можно создать, например, с длительным сроком в 3 см „десятки” (рис. 2d), двигаясь на конец только один символ (который?). Возникнет одна из трех оптимальных „trzynastek”. Две остальные-это 0_1_4_5_11_13 (пример задания Dudeneya) и 0_1_6_9_11_13.

Рис. 2

Среди редких строк оптимальными являются, без сомнения, самое интересное. Их можно назвать мини-макс, потому что обеспечивают измерение максимального количества расстояния с минимальным количеством символов. Не способ увеличить их объем, то есть длины, без добавления символов, или уменьшить количество символов, не ограничивая диапазона.

Каждые две из n символов на линейке определяют расстояние, так что всех дистанций столько, что пар символов – в соответствии с рисунком на количество комбинаций 2-elementowych из набора n-elementowego: n(n-1)/2. Если бы все расстояния на линейке оптимальной были разные, то их число будет равно длине линейки. Да, однако только в случае строк с наименьшим количество символов – максимум с четырьмя (рис. 3а). Для пяти знаков различных дистанций 10, но линейки оптимальные восходят только девять. Такие линейки есть две (рис. 3b) – на первой повторяется пройденное расстояние „1”, на другой „3”.

Рис. 3

В таблице приведены длины строк оптимальных с различными количествами символов – от 2 до 17. В скобках рядом с каждой указано разницу между этой практичной длиной и теоретическое число всех различных дистанций между парами символов. Эта разница означает, что также, сколько повторов расстояния, на данной линейке

Из таблицы видно, что длины строк и различия в скобках растут медленно и неравномерно. Кажется, что ни один из этих строк, растущих не подлежит отпечатком или правиле. И тем не менее..

В 1962 году английский математик Брайан Wichmann заметил, что если вместо символов мы будем рассматривать сегменты, то есть интервалы между последовательными символами, то окажется, что запись нескольких строк оптимальных имеет вид:

1^r_r+1_(2r+1)^r_(4r+3)^s_(2r+2)^(r+1)_1^r.

„Птичка” в записи не означает возведения в степень – x^y , говорится как „y сегментов длиной x”. Если мы предполагаем, например, r=0 и s=2, это на линейке последовательно будут появляться (или не, если r=0): ноль сегментов длиной „1”, один длиной „1”, «нулевой длины „1”, два в длину „3”, один длиной „2”,» нулевой длины „1”. В результате мы получим строку оптимальную 0_1_4_7_9, то есть такую же, как вторая на рис. 3b. Пожалуйста, проверьте, что если принять r=1 и s=3, это восстание линейка длиной 36 о которой упоминалось в начале статьи.

Таким образом, создаются так называемые линейки Wichmanna. Существует гипотеза, что такие все линейки оптимально, когда количество символов превышает 14. Так что, если персонажей составляет 13, это среди линейки оптимальных длиной 58 нет линейки Wichmanna. Однако, если символов размещении минимум 15, это линейкой Wichmanna будет каждая оптимальная. По крайней мере, так следует из гипотезы, которую подтверждают расчеты, но которой до сих пор никто не доказал.

Следующие конкурсные задания относятся родстве с редкими особых видов строк.

1. Если обычная линейка имеет деления на обоих берегах, называется двухсторонний; как правило, одна шкала — сантиметр, а вторая дюймовая. На редкой линейке двустороннего градуировка с обеих сторон сантиметровый, но:

– все расстояния там на линейке, по крайней мере, дважды (если повторяется на одной странице, то на другом берегу, может его вообще не быть),

– количество персонажей минимально.

Пожалуйста, создать редкую строчку двусторонний длиной 10 с девятью символами. Четыре крайние знаки, то есть два расстояния „10”, уже на ней находятся (рис. 4) – остается разместить пять остальных.

Рис. 4

2. Из линейки оптимальной длиной 17 (0_1_2_3_8_13_17; рис. 5а) удаляем знаки 1, 3 и 8, а линейку wydłużamy (рис. 5b). Один из удаленных персонажей мы размещаем на конце новой линейки, а два других-в других местах – таких, чтобы длинной линейкой, можно было измерить все расстояния, от 1 до 18. Не будет это, конечно, линейка оптимальная, или даже редкая, потому что не найдут в ней некоторые расстояния из диапазона, заключенного между 18 и длиной линейки. Какой будет запись новой линейки, начиная от 0_2_..?

Рис. 5

3. Линейка редкая „раз-два” — это такая, на которой не хватает нескольких штрихов шкалы, но которую можно измерить все расстояние от 1 до k, прикладывая линейки во время измерения одно — или дважды. Иначе говоря, каждый, расстояние от 1 до k или на линейке, или как сумма не более двух, расположенных на ней расстояния. Какое может быть наибольшее значение k на линейке „раз-два”, на которой первые шесть знаков (в том числе два крайних).

Решения просим присылать до 30 октября т. г. по электронной почте ([email protected]), указав в теме письма пароль UG10/13, или по почте: Мир Науки, ул. по улице rzymowskiego проходят 28, 02-697 Warszawa. Среди отправителей правильных решений, по крайней мере, двух задач финале будут выбраны пять победителей, и мы награждаем их книгой , Почему E=mc2 (и почему это должно нас волновать) Брайана Кокса, Джеффа Forshawa, ufundowaną издательством Prószyński Сми.

Решение задач из августовского номера

1. Вы должны удалить по крайней мере, три белых и три синих поля, чтобы покрыть шахматной доске dominem – несмотря на четность числа белых и синих полей – не было возможности. Например: белые – b1, b3, d1, синие – a3 и два любых (niedzielące шахматной доски на части) дополнение к c1, которые не будут покрыты.

2. Пункты 1-masztowców: a3, a6, c6, g6.

3. 10 досок 1×2 – в предположении, что длины половиц не больше, чем 4. Поскольку, однако, этого условия не хватало в задании, так что решений много, и все соответствующие остальные указанные условия считались правильными.

4. 7 размеров 1×3.

За правильное решение по крайней мере трех задач приз, книгу Антона Zeilingera От запутывания частиц в квантовой телепортации, ufundowaną издательством Prószyński Сми, получают: Александра Боярин с Pasłęka, Симон Dudycz из Вроцлава, Александр Harbart, Кшиштоф Левандовски из Гданьска, Михаил Przyszczypkowski из Познани.