Первое упоминание о камнях для игры в домино – таких, какие сегодня знает, наверное, каждый – поставляется с середины XVIII века из Италии, но их происхождение остается загадкой. Нет уверенности в том, что представляют собой модификацию очень похожее реквизит для игры, известного в Китае с XII века, который, возможно, попал в Европу через средневековых купцов, а также были изобретены независимо. Некоторые, однако, что расцвет этой игры пришелся на XIX век, а костер dominowej эпидемии приходится на конец XVIII века, парижские кафе. Довольно существенное влияние на распространение новой игры был тот факт, что она была благородной конкуренцией для связанных с азартными играми в карты и с удовольствием играли в нее и порекомендовали – также из-за „благочестивое” имя – священники. Прежде всего, однако, была легкой и приятной формой отдыха.

Сегодня во многих регионах (в частности, Латинская Америка, арабские страны, бывшие азиатские республики СССР) domino не менее популярны, чем в XIX веке в Европе, только способ игры бывает, как правило, более „современный” – пара против пары, как елена, убирайся. Такая версия считается спортивной, проводятся турниры, и даже чемпионаты мира. Структура комплекта 28 камней также давно вызывает интерес. О ее статьи появляются в журналах математических, а dominowe головоломки встречаются в математических конкурсах и в публикациях, адресованных любителям ломая голову.

В операционной системе Android начиная с недавнего времени доступен набор Mind Games, состоящая из нескольких довольно сложных задач, связанных с классических игр. Не хватает в нем также домино. О чем идет речь в dominowej игре, легко сделать вывод из рис. 1, представленному скриншот после выполнения первого движения. Набранные камни перемещаются по одному в обозначенные места (их можно вращать на 180 градусов). На берегу появляются суммы стежки на половинках камней, расположенных в данной строке, столбце и на двух диагоналях. Целью является такое положение восьми выбранных камней, чтобы все эти суммы были одинаковые.

Головоломки benedyktyńska, если решать ее методом проб и ошибок. Легче потерять терпение, чем добраться до цели, несмотря на то, что геометрия системы камней определяется, что облегчает задачу, которые в общей форме, известной с середины XIX века, звучит кратко и лаконично: составьте магический квадрат из камней домино.

Классический магический квадрат n×n , образуют различные числа от 1 до n2 расположены так, что их сумма в строках, столбцах и на диагоналях одинаковы. Квадрат четвертого порядка (n=4) состоит поэтому из чисел от 1 до 16, расположенных, например, как показано на рис. 2 – волшебная сумма равна 34. Магию domina сочетает в себе классическую то, что суммы в 2n+2 ряда одинаковые. Все остальное-это другое, потому что квадрат образуется из различных пар чисел, причем числа повторяются, и ни один не больше, чем 6. Из четности компонентов следует четность квадратов, которые могут иметь размеры всего 4×4 или 6×6. Квадрат 2×2 исключен, потому что он должен состоять из двух одинаковых dubletów, а для больших, чем 6×6 кончалось камней в комплекте домино.

Для квадратов 4×4 легко определить конкретно два элемента: возможные суммы, волшебные и геометрию раскладки камней. Сумма чисел, выпавших на восьми камнях, равна как минимум 19, а в лучшем случае 77. В волшебном квадрате сумма эта должна быть кратно четырем и, следовательно, будет равна минимум 20, а максимум 76. Отсюда возможны магические суммы, которых пятнадцать – от 5 до 19. А различные способы укладки восьми камней в квадрате 4×4-девять (рис. 3).

В конкретных задачах обычно является утечка хотя бы один из этих элементов: расположение камней или сумма волшебная. Однако, даже если оба не гарантирует однозначности решения. В первых ДЕВЯТНАДЦАТОГО века, в головоломках этого типа, было отмечено просто восемь камней, из которых следовало составить магический квадрат 4×4. Тем самым определена была сумма, волшебная. В одной из них, помещенной перед 120 лет назад во французском журнале» L’Illustration, следовало воспользоваться камней 0-2, 0-3, 0-4, 1-4, 2-2, 2-3, 3-3, 3-4. Кто выбирает эти камни из комплекта и попытается сразиться с ретро-головоломки, тот наверняка подтвердит, что она непростая, увлекательная и.. противная.

Порочность заключается в том, что часто в положение седьмого камня, все идет как следует, то есть суммы, являются правильными, и только на последнем камне, оказывается, что дорога вела в заблуждение. Пример такой злополучной насадки представлен на рис. 4 – суммы в строках и столбцах так, как следует, то есть в размере 9, на одной диагонали также 9, а на другой – к сожалению – 7. В XIX веке читатели, а, вероятно, и автор задачи, не zagłębiali слишком много в способ его устранения. Они рассматривали его как головоломку типа „думай и считай”. В L’Illustration указано только одно решение без комментариев. В меру простой, и логичный способ, позволяющий найти все решения для данных восьми камней, не является, впрочем, известный. Можно, правда, воспользоваться одной из схем макетов из рис. 3, пытаясь вписаться в любой из них выбраны камни, но это путь трудной и неинтересной. Кажется, что довольно приятно и эффективно удается достичь несколько решений другим путем. Начать надо с „rozparowania” камней и наложения магического квадрата из 16 цифр, расположенных на их половинках. В случае задания в стиле ретро мы предлагаем следующий набор цифр:

0, 0, 0

1

2, 2, 2, 2

3, 3, 3, 3, 3

4, 4, 4

Можно из них создать шесть различных квартетов цифр таких, что сумма цифр каждого равна 9:

[0, 1, 4, 4]

[0, 2, 3, 4]

[0, 3, 3, 3]

[1, 2, 2, 4]

[1, 2, 3, 3]

[2, 2, 2, 3]

Четыре из этих квартетов должны присутствовать в строках магического квадрата, причем такие же, квартеты могут повторяться, а все четыре должны включать в себя весь набор из 16 цифр. Такие четверки квартетов, три (рис. 5 вверху) – каждая из них представляет собой как бы зародыш магического квадрата.

Следующий шаг-это такие перестановку цифр в строках, чтобы в столбцах также появились струнные цифр с суммой, равной 9. Примерные результаты этой операции представлены на рис. 5 в нижней части. Теперь осталось переставить строки и столбцы таким образом, чтобы на диагонали также появились магические суммы. Допускается также так называемая инверсия – если макет цифр это позволяет – то есть в этом случае вращение четверти квадрата на 90 градусов. Возможно строки изменений для квадратов с рис. 5a и 5b, ведущие к полной магии, показаны на рис. 6; в обоих случаях последнее изменение, обозначается кружком, заворот. Конечный этап-это „сопряжение” цифр, то есть деление квадратов на заданные камни домино. Таким образом, мы получаем два решения – квадраты в красной рамке на рис. 6. Мы пока частный случай – „готов”, то есть не требует никаких изменений магический квадрат с рис. 5c; о нем говорится в первом конкурсном задании.

Задача с L’Illustration имеет в общей сложности 13 решений. Решения головоломки из набора Mind Games (рис. 1).. 131 344. Как найти логику хоть одно? Проще всего, выбрав набор из 8 камней, дающих минимальную сумму волшебную, то есть 5, а значит, сумма чисел, выпавших на некоторых камнях должна быть равна 20. Выбор делаем среди 12 камней с числом ячеек не более 5: 0-0, 0-1, 0-2, 1-1, 0-3, 1-2, 0-4, 1-3, 2-2, 0-5, 1-4, 2-3. Сумма чисел на этих 12 камней составляет 38, а, следовательно, необходимо удалить из них четыре с суммой 18. Общие возможности удалить два: две „пятерки” и две „четверки” или три „пятерки” и одна „тройка”. Легко доказать, что удалить нужно, 0-5, потому что после сдачи его для заполнения квадрата кончалось „мыла”, то есть нули. Конечно, останутся четыре камня 0-0, 0-1, 0-2, 1-1 с суммами 0, 1, 2, 2. Каждый должен попасть в верхнюю или нижнюю половину квадрата на рис. 1, а под ним или над ним, должны найти его „дополнение” к 5, то есть в общей сложности четыре камня с суммами 5, 4, 3, 3. Сумма чисел в верхней и нижней части должны быть одинаковыми, равными 10, что является ключом к размещению камней – камни с суммами 0, 4, 3, 3, должны находиться в одной половине, а с суммами 5, 1, 2, 2 напротив них в другой. Предварительный макет может выглядеть, например, так, как на рис. 7. Дальнейшая игра заключается в таком вращении камней и набор столбцов, чтобы суммы волшебные 5 появились во всех строках и двух диагоналей. Стоит поиграть в рамках wprawki перед аналогичной задачей конкурса.

ЗАДАЧИ

1. Квадрат волшебного рис. 5c не выложить из камней, из которых должен быть помещен. Мало того – легко проверить, что создание этого квадрата из домино вообще не возможно без повторения одинаковых камней. Задача заключается в преобразовании его в такой магический квадрат, который делся на камни требуется в задаче с L’Illustration (0-2, 0-3, 0-4, 1-4, 2-2, 2-3, 3-3, 3-4) будет возможен. Преобразования необходимо произвести в минимальное количество шагов. Каждый шаг должен быть заменой местами двух строк или двух столбцов или инверсией.

2. С dominowymi магическими квадратами 4×4 компьютеры poradziły, то есть все они были подсчитаны и распределены. Оказалось, что их 3 639 920. Для разнообразия укладка квадратов 6×6 это развлечение подходит даже для компьютеров. Правда, легко определить их сумму волшебную (может принимать значения от 13 до 23), но не известно, сколько различных схем расположения в них камней, а значит, тем более не известно количество квадратов. Интересно, известное с XIX века, представляют собой в то время, уложенные с всех 28 камней комплекта dominowe квадраты магические.. 7×7 с суммой волшебную 24. По сути это прямоугольники 7×8 с нулевым берегу, часть которых значение не равно нулю (а точнее – содержащие один ноль) буквально дышит магией. Один из таких своеобразных экспонатов из dominowego паноптикум представлен на рис. 8. Границы между камнями, однако, были удалены, и задача состоит в их воспроизведении. В решении достаточно указать, сколько камней лежит горизонтально.

3. Из пяти камней, вы можете создать магический квадрат 3×3 с „углом” – такой, например, как на рис. 9а. Его волшебная сумма равна 6; угол не включены в суммы, так что может быть любой. Такой рогатый магический квадрат укладывается из пяти различных камней, четыре из которых показаны на рис. 9б. Какой был пятый камень?

Решения просим присылать до 31 июля с. г. по электронной почте ([email protected]), указав в теме письма пароль UG07/14, или по почте: Мир Науки, ул. по улице rzymowskiego проходят 28, 02-697 Warszawa. Среди отправителей правильных решений, по крайней мере, двух задач финале будут выбраны пять победителей, и мы награждаем их книгой Наша другая Вселенная. Кроме космический горизонт и дальше Пола Halperna ufundowaną издательством Prószyński Сми.

Решение задач с майского номера

1. Первый сын взял 35/9 дукатов, второй – 35/6, третий – 70/9.

2. Стадо насчитывало 142 коровы

3. 17/18=1/2+1/4+1/8+1/16+1/144

За правильное решение как минимум двух задач приз, книгу Брайана Глегу, Как построить машину времени, ufundowaną издательством Prószyński Сми, получают: Петр Biełło, Анна Bukowska, Джоанна Kotuła, Павел Latosiński и Лука Muszel.