То есть такой, в которой кладовщик знает теорему Лагранжа

Самым молодым поклонникам царицы наук случается достигнуть удивительных открытий. Например, отняв от себя еще квадраты натуральных чисел (0, 1, 4, 9, 16, 25,..), мы получаем последовательные нечетные числа (1, 3, 5, 7, 9,..). Это может удивлять, потому что кажется, что строка мощностей должен „ускорять” в какой-то более эффектный способ, чем нумерация домов по одной стороне улицы. Достаточно, однако, записать уравнение на разницу соседних квадратов:

n2 – (n-1)2 = 2n – 1

и все становится ясно – результатом является рисунок на нечетные числа. Отсюда вывод: каждое нечетное число есть разность двух квадратов. Или каждая четная также? Не, в данном случае различия бывают только кратные четырем (4, 8, 12, 16, 20,..). И, следовательно, разность квадратов может быть любое число, кроме указанных рисунком 4k + 2 (2, 6, 10, 14, 18,..). Или иначе: любой, которую можно представить как произведение двух нечетных чисел или двух нечетных. С этой формой связано простой метод нахождения всех способов представления данного числа в виде разности двух квадратов.

Возьмем число 2013. С ее разложения на простые множители (3 × 11 × 61) следует, что ее можно записать как произведение двух нечетных чисел четырьмя способами: 61 × 33, 183 × 11, 671 × 3, 2013 × 1. Столько же способов будет представить ее в виде разности двух квадратов, и к каждой ведет непосредственно узор:

[(a + b)/2]2 – [(ab)/2]2

где а и b есть пара факторов, образующих произведение. Таким образом, для чисел 61 и 33), мы получим:

[(61 + 33)/2]2 – [(61 – 33)/2]2 = 472 – 142

Еще три способа, полученные после подстановки в формулу факторов, это:

972 – 862, 3372 – 3342 и 10072 – 10062.

Четыре способа для такого количества это мало, если наименьшее из „czworaczkami” 96. Среди чисел, меньших от 2013 три (1440, 1680, 1920) дают записать как разность квадратов, пока на дюжину способов.

Из приведенной выше формулы следует также интересное свойство простых чисел: их можно записать как разность квадратов только один путь, а эти квадраты всегда двумя последовательными. Например: 13 = 72 – 62, 2011 = 10062 – 10052.

В теории чисел вопрос гораздо более обширный и более сложной, чем различия квадрата их суммы. Наиболее общие вопрос: какие числа могут быть контрольные суммы n квадратов? Общей реакцией является теорема Лагранжа: если n = 4, это все. Любое количество естественной можно записать в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Если бы мы, однако, ограничились до квадратов положительных чисел, т. е. пропущено ноль, это в утверждении вместо n = 4 всплыло бы n ≤ 4. Ибо в бесконечно много чисел, которые нельзя представить в виде квартета квадратов без использования нулей. К ним относятся, кроме большинством чисел из двух цифр – кроме 4 (12 + 12 + 12 + 12) и 7 (22 + 12 + 12 + 12) – например, 32 и 56; 32 = 42 + 42, а 56 = 62 + 42 + 22 – других вариантов без нулей не имеет (для n ≤ 4) и, следовательно, если n должно быть равно 4, это записи нужно дополнить нулями, т. е.: 32 = 42 + 42 + 02 + 02 и 56 = 62 + 42 + 22 + 02. Кроме того, если не учитывать нули, то сумма n ≤ 4 квадратов не обслужит числа 1.

Размещение чисел из квадратов занимались с древних времен многих известных математиков. Эта, казалось бы, простое действие напоминает реализовывать через оптовые заказы на любые товары, имеющиеся в пачках, содержащих по 12, 22, 32,.., n —2 штук. Если оптом „математическая”, то есть пакеты разных размеров есть всегда в изобилии, а кладовщик знает теорему Лагранжа, это в каждой посылке будут, самое большее, четыре пачки. Проблема заключается только в определении, сколько минимум и какие конкретно. Тема оказалась сложной и на протяжении столетий вопрос первый на много подтем, потому что заказы могут быть специфическими. Если, например, клиент захотел из2 штук товара, при ограничении доставки до двух пачек построят самый известный подтемы, то есть теорема Пифагора, а точнее так называемые тройки pitagorejskie определяются уравнением x2 + y2 = с2. Для маленьких с нетрудно выбрать подходящие пакеты из x2 и y2 товарами, предполагая, что для двух пачек будет возможно. Однако, если бы заказ opiewało, например, на 20132 = 4 052 169 штук, то следовало бы воспользоваться предоставленной Евклида конструкций, которые позволяют создавать тройки pitagorejskie (x, y, z) пары натуральных чисел m и n, которые удовлетворяют три условия (одно из них нечетное, а второе четное; обе они относительно первых, то есть не имеют общих делителей; m > n):

x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2

Из третьей формулы следует, что проблема с2 боевыми товара сводится к из штук, то есть нужно сначала справиться с, казалось бы, более простым разделением 2013 на два квадрата.

Разделив любой квадрат на 4, мы получим остаток 1 для квадрата нечетного или 0 – для четной. Сумма двух квадратов, поэтому она должна быть или кратны четырем, когда оба квадраты парные, или иметь персонажа 4а + 1 (четное и нечетное) или 4a + 2 (оба нечетные). Так если заказано 2011 или 2015 штук, две пачки с квадратами, конечно, не хватило, потому что оба эти числа являются персонажи 4а + 3. Или в случае 2013 = 4а + 1 достаточно? Оказывается, что также не. Ни один из нескольких доказательств невозможности сохранения определенных чисел (отличных от персонажей 4а + 3) в виде суммы пары квадратов не на столько коротким, ни простым, чтобы его здесь представить, но все сводятся к легкой, указанного в XVII веке Girarda и Фермат том, как определить, является ли такая запись возможна. Необходимо разложить данное число на простые множители и посмотреть, если количество каждого из факторов, выражающих образцом 4, а + 3, четное – помня, что четные является также ноль. В план-графике 2013 = 3 × 11 × 61 такими факторами являются 3 и 11, но каждый встречается один раз, т. е. – к сожалению, – две пачки не хватит. А три?

Уже в III веке Diofantos заметил, что ни количество персонажей, 8м + 7 не может быть суммой трех квадратов. Фермат подал полный состояние: трио квадратов исключен только в случае числа 4n(8m + 7) для m и n ≥ 0. Легко проверить, что такое число 2012 (n = 1, m = 62), а 2013 нет, так что терцеты возможны и до тех пор, пока четыре:

2013 = 432 + 102 + 82 = 382 + 202 + 132 = 352 + 282 + 22 = 342 + 292 + 42.

Вы, наверное, кладовщик на склад, выбрал бы последний, потому что самый большой пакет в нем меньше, чем в трех остальных.

Различных вопросов и проблем, касающихся сумм квадратов-это много. Устранение одних порождает очередные вопросы, а поиск ответов рассматривается как упорядочение хаоса, т. е. чаще всего они возникают, как правило, или узоры. Например, только в 1979 году было доказано, что каждое число, большее 188 можно представить как сумму не более пяти различных квадратов, а 128-это наибольшее, что сумма различных квадратов быть не может.

Следующие конкурсные задания касаются не только представления чисел из квадратов. Два из них (включая судоку), относятся к как бы обратного действия – раздел квадратов.

1. Для оптовиков головоломки пришли три заказа – на 72, 73 и 74 арт. Пазлы упакованы в „квадратной” упаковке. Кладовщик подсчитал, что каждый заказ может реализовать, послав две пачки, потому что: 72 = 62 + 62, 73 = 82 + 32, 74 = 72 + 52. Через неделю появился другой трио заказов на n, n + 1 и n + 2 штуки, каждое из которых также был обработан двумя пакетами. Пожалуйста, найдите n, если его значение было наименьшим из возможных, но больше, чем 72.

2. В соответствии с простой, школьное определение количество треугольная, равно числу кругов одинакового диаметра, которыми можно заполнить равносторонний треугольник. Последовательность таких чисел (0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,..) находится в близком родстве с квадратами, потому что квадрат-это сумма любых двух последовательных слов этой строки. Вы можете найти другой строка на подъеме, о той же собственности, в котором квадратом (минимально возможный) будет также каждое слово. В решении достаточно указать первые шесть слов этой строки.

3. Упоминается в Библии и uchodząca за воплощение сатаны, т. н. число Зверя, т. е. 666, frapująca также с математической точки зрения. Связывается с ней несколько арифметических особенности. К примеру, равна сумме квадратов первых семи простых чисел:

22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666

666 можно представить также как „проклятый” трио суммы двух, трех и четырех квадратов натуральных чисел. Сумма двух квадратов может быть только одна: 225 + 441. Какие семь квадратов состоит на конкретные суммы трех и четырех квадратов размере 666 – именно такие, в которых все квадраты разные, и там в них пять шестерок?

4. В пустые поля схемы судоку вы должны ввести цифры от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в секторах 3 × 3, разделенных толстой линией оказались разные цифры. Кроме того, различными квадратами должны быть:

– цифры в трех отдельных, извлеченных синих полях,

– сумма цифр в каждом из трех синих фрагментов, состоящих из 3, 5 и 7 полей (цифры в каждом таком фрагменте, должны также быть разными).

В качестве конечного решения достаточно указать две цифры – те, которые нельзя однозначно поставить в схеме (задача имеет два решения).

Решения просим присылать до 31 марта текущего года по электронной почте ([email protected]), указав в теме письма пароль UG03/13, или по почте: Мир Науки, ул. по улице rzymowskiego проходят 28, 02-697 Warszawa. Среди отправителей правильных решений, по крайней мере, трех задач финале будут выбраны пять победителей, и мы награждаем их книгой Молчание звезд Пола Дэвиса, ufundowaną издательством Prószyński Сми.

Марок Penszko, по образованию инженер полиграфии, является знатоком и popularyzatorem игр и развлечений умственные способности, в основном, математику отдыха. Сотрудничает со многими журналами, в частности, пишет блог для Политики.