Пифагор, как и большинство авторитетов, он не любил менять.

Он настаивал, например, что „все есть число”. Это означало, что каждой вещи назначено любое число в мистическом смысле и что все можно измерить, то есть число является также фактический атрибут. В первом случае речь шла о натуральные числа, во втором – о количественной оценке. Неряшливый судьба ждала того, кто посмел бы рассматривать другие числа, например, отрицательные. Когда один из pitagorejczyków, Hippazos с Metapontu, пытался убедить учителя, что существуют числа иррациональными – и это происходило на борту корабля – был просто выброшен за борт. Вы можете сомневаться, что это послание истинно, но открытие чисел niewymiernych на самом деле было для Пифагора почти шоком, и я не справился с их zaszufladkowaniem. Может быть, чувствовал себя немного как плотник предложено обрезка доски длиной √2 метра. Правда, сюрпризом будет также предложено 1/3 метро, потому что ответчики том числе дробь, десятичная также простирается в бесконечность, но это уже вопрос системы счисления. Плотник в Англии poradziłby с 1/3 ярда – доска бы длина одной ноги.

Источником и началом niewymierności был квадрат со стороной равной 1, потому что в соответствии с утверждением Пифагора длина его диагонали равна √2. Pitagorejczycy первыми доказали, что этой длины измерять не так, то значит нет такой единицы измерения, которой кратность будет представлять собой диагональ. Иначе говоря, числа √2 нельзя представить в виде обычной дроби а/b, т. е. частного целых чисел. Правда, интуитивно мы чувствуем, что между 1 и 2 нет такого отрывка, который после подъема в квадрат дал бы „круглую” двойку, но интуиция-это слишком мало.

Древние Греки знали, доказательство, геометрический, который начал с того, что √2-это рациональное число, а следовательно, диагональ каждого квадрата ощутимых бокам также поддаются измерению. Иначе говоря, в сторону и по диагонали они соизмеримы, т. е. есть какая-то единица, к, которой они кратны длине этих участков. Рисуем квадрат со стороной а1, длина которого кратно этой единицы (nk), а значит, диагональ p1 (nk√2), а также. Затем мы разрабатываем, производим эпизод а2=p1–a1=nk(√2-1) и рисуем квадрат со стороной а2 и диагонали p2; потом определяем отрезок a3=p2–a2 и рисуем квадрат со стороной а3 и диагональю p3. Продолжая этот процесс, мы создаем последовательность все меньших квадратов (рис. 1), в которых и длины сторон и диагонали – из того – числами współmiernymi. В какой-то момент вы обнаружите, однако, что в сторону другого квадрата меньше от k, т. е. его длина несоразмерное с длиной диагонали, а это противоречит идее о wymierności √2.

Рис. 1

Сегодня доказательств niewymierności √2 есть более чем 20. Подается чаще всего основаны на четности. Все они не прямо, то есть начинаются с того, что √2 есть число рациональное, а значит, √2=а/b, следовательно, a2=2b2. Остается доказать, что это равенство не существует, то есть в два раза квадрат не может быть квадратом. Если дробь a/b является nieskracalny (a и b являются полное и относительно первых, то есть не имеют общих podzielników больше 1) – и всегда можно его в таком виде принести – это либо нечет являются a и b, или только одна из этих цифр. Если а и b или а, то и2 будет нечет, а 2b2 парные; если b — нечетное, то а2, как квадрат четного целого, будет делиться на 4, а 2b2 не. Отсюда вывод: а2≠2b2.

Для противоречия мы приходим, рассматривая концы квадратов, которыми могут быть только 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Правая сторона будет заканчиваться цифрой 0, 2 или 8. На конец количества и подходит, так что только ноль, следовательно, b должен заканчиваться нулем или пятеркой. В этом случае a и b не будут сравнительно-первых, а это означает противоречие с догматами.

Расчет √2 началось в Вавилоне в XVIII веке до нашей эры. Из сохранившейся глиняной таблички следует, что тогдашние rachmistrze они добрались до пятой цифры после запятой, то есть они знали, что √2=1,41421.. В начале нашей эры появились алгоритмы расчета приближенных значений квадратного корня. Подали их Херон из Александрии в I веке, а чуть позже греческий философ и математик Теон из Smyrna. Оба основаны на доли невозможно. Для √2, как и для всех чисел niewymiernych, часть этот бесконечен:

Его можно представить в виде „ярлыков”, то есть обыкновенных дробей. Первое слово в течение будет включать в себя только одну на светло-розовый фон, второй – эту единицу и две цифры на чуть более темном фоне не связанные линии, третий – три существующие и еще одну пару на более темном фоне и т. д. Таким образом, восстание, начинающуюся единицей строка обыкновенных дробей:

1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985..,

в котором каждый следующий будет лучше чем предыдущий приближение √2. Эту строку можно рассматривать как задачу из теста Mensa, то есть, спросить, следующий, десятый выражение кого-то, кто не знает, как строка возникла. Вопреки расхожему мнению, загадка не слишком сложная. Первый распустил ее упомянутый Теон из Smyrna: знаменатель каждой следующей дроби сумма числителя и знаменателя предыдущего, а счетчик – сумма счетчика и имела удвоинный знаменатель предыдущей. Таким образом, со времен Теона увеличение развития десятичной √2 зависел уже только от вашего желания, целеустремленности и benedyktyńskiej терпения.

Первая запись, опубликованная в одном из журналов математика в 1887 году, достигал 520 цифры после запятой. Следующий был профессор Гораций Uhler, физик и obliczeniowiec сша, который в 1951 году прибыл в 1542 цифры. О первом значительным записи компьютерной пресса сообщила в 1971 – Жак Dutka из Колумбийского Университета превысил миллион цифр. Сегодня это экстремальный вид спорта культивируется в течение нескольких компьютеров и их владельцев. В прошлом году упала барьер двух триллионов цифр. Имеет ли это какой-то более глубокий смысл, кроме „тренировки” компьютеров?

В случае бесконечных десятичных дробей рациональные числа бесконечность „oswojona” – все дроби являются периодическими, то есть без конца повторяется в них какая-то группа цифр. Период может быть сколь угодно долго, но конец, так что количество всегда „под контролем”. А в отношении развития десятичной √2 математика пока бессильна. Схема подаем, urywając долю в каком-то месте, например:

√2 = 1,414213562373095048801688724209698..

Невозможно предсказать дальнейшее течение, то есть сказать что-нибудь о системе цифр zastąpionym многоточием. Это касается, конечно, всех элементов niewymiernych, но √2, как будто их король, как одна из трех, наряду с? и е, самых известных чисел niewymiernych. С одной стороны, последовательность цифр, это выглядит случайным, с другой-известно, что каждая следующая цифра не является случайностью. Мы не знаем, что разные цифры встречаются одинаково часто (есть такая гипотеза) или какие-то макеты цифр, появляются чаще, чем другие, или вовсе не возникают. Zagadkowość течение является стимулом анализировать его, искать каких-то способов, в безумии цифр – как и в случае с течение первых чисел. Не исключено, что открытие какой-то „правила” будет иметь важное значение для других математических вопросов или даже найдет практическое применение.

Интересная интеллектуальная √2 связано с так называемой строкой Битти. Каждый n-го слова этой строки равен целой части числа n√2 (n=1, 2, 3,..):

1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24..

Если слова эти, как мы будем относиться к odjemniki и перед каждым надо будет внести odjemna, каждая из которых будет очередной цифрой niewystępującą в том числе за:

3-1, 6-2, 10-4, 13-5, 17-7, 20-8, 23-9,..

то окажется, что разница всегда равна 2n. Почему так происходит? Это сложный вопрос. Следующие конкурсные задания легче.

1. Длина диагонали квадрата со стороной равной n выражает число niewymierną n√2. Однако обманчивое „исключения”. Например, измеряемая длина диагонали на рис. 2. Нет никаких сомнений, что это диагональ, только что не.. квадрата, но одна из исключительных прямоугольников, в которых разница длин сторон равна единице. Длины сторон и диагонали образуют тройку pitagorejską чисел на 4-значные. Какую?

Рис. 2

2. Из десяти различных цифр, необходимо создать равнине, по возможности, ближайший √2. Решения с развитием десятичной в соответствии с √2 до четвертой цифры после запятой считаются они слишком правильные.

Для количества? примере вариант, в котором четыре цифры после запятой, являются правильными, фракция 62350/19847=3,1415..

3. В девяти полям квадрата 3×3 (рис. 3) необходимо разместить девять различных цифр – все, кроме 8 – так, чтобы среди этих полях движением короля шахматного и сохранив поочередно посещают цифры, можно было создать как можно более продолжительное десятичные развитие √2.

Для количества? семь решений, позволяющих достичь пятнадцатом цифры после запятой (3,141592653589793). Вот одно из них (цифры в строках сверху): [1,3,7], [4,5,9], [6,2,8].

Рис. 3

Решения просим присылать до 30 сентября по электронной почте ([email protected] ru), указав в теме письма пароль UG09/13, или по почте: Мир Науки, ул. по улице rzymowskiego проходят 28, 02-697 Warszawa. Среди отправителей правильных решений, по крайней мере, двух задач финале будут выбраны пять победителей, и мы награждаем их книгой Стивена Oppenheimera Прощание с Африки, ufundowaną издательством Prószyński Сми.

Решение задач с июльского номера:

1. Невидимое поле: a4, b1, c3, d6, e5, f2.

2. Сумма мощности семи Światowidów, наблюдаемых восемь полей по диагонали – 31 (или 35, если мощность 4 Światowida, который наблюдается два поля, посчитать дважды).

3. A = 7, B = 5, C = 1, D = 4, E = 2, F = 6, G = 3.

4. 8 zezujących божеств общей мощностью 26.

За правильное решение по крайней мере трех задач приз, книгу Фрэнка Close’и Загадка бесконечности, ufundowaną издательством Prószyński Сми, получают: Лех Barski из Щецина, Рафаэль Masełek с Новой Sarzyny, Анна Nowosławska из Люблина, Эвелина Pluta из Тех, Амадей Putzlacher с Polic.