Текущий год является последним в уникальном trzyleciu, какой не было от 125 лет
и не будет в ближайшие 650.

Для того, чтобы раскрыть его уникальность, достаточно воспользоваться разложения на простые множители:

2013=3×11×61

2014=2×19×53

2015=5×13×31

Три последовательных числа iloczynami трех различных простых чисел. Такой трио-третий в течение натуральных чисел. Предыдущие два (1309, 1310, 1311) и (1885, 1886, 1887); следующие два – (2665, 2666, 2667) и (3729, 3730, 3731).

Числа, для которых разложение на простые множители состоит из трех чисел, и все они разные, назвали до десятков лет назад sfenicznymi. Они образуют последовательность, начинающуюся с 30 (2×3×5): 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222,.. Термин „sfeniczny” происходит из греческого языка – является синонимом слова „клиновой”. Название связано, так что, вероятно, с тем, что факторы первых столько, сколько сторон клина. „Обрядом » крестин” чисел, которые к концу XX века были безымянные, добавило им авторитета, и было связано с их интересными свойствами. Наиболее впечатляющие упомянутые терцеты, а также более частые дуэты sfeniczne, запоминающихся с числами-близнецами в течение первых чисел. Квартетов быть не может по простой причине – она была бы среди них, кратное четырем, и так две двойки в расписании. Другие свойства чисел sfenicznych касаются более сложных вопросов. Например, одна из них заключается в следующем: все числа, которые на 1 меньше чисел sfenicznych, есть 13 отделов отличные. Деление-это распределение числа на составляющие, т. е. представление ее в виде суммы. Например, 7 имеет 15 делений (учитывается также диваном-количество):

I. 7

II. 6+1

III. 5+2

IV. 5+1+1

V. 4+3

*VI. 4+2+1

*VII. 4+1+1+1

VIII. 3+3+1

IX. 3+2+2

X. 3+2+1+1

XI. 3+1+1+1+1

*XII. 2+2+2+1

XIII. 2+2+1+1+1

XIV. 2+1+1+1+1+1

*XV. 1+1+1+1+1+1+1

Отличные разрывы обозначены звездочкой. Совершенство каждого заключается в том, что в нем содержится один и только один, разделить все числа меньше 7. Иначе говоря, из чисел, образующих разделение прекрасную числа n можно создать любое число меньше n , но только на один способ. Например, разделение XII это прекрасно, потому что 1=1, 2=2, 3=1+2, 4=2+2, 5=1+2+2, 6=2+2+2. Разрывы без звездочки не являются совершенными, ибо некоторых чисел в диапазоне от 1 до 7 нельзя создать или даст, но на два или более способов: с разделения IV не получит 3 или 4, а с деления X каждое из чисел 3, 4 и 5 можно создать двумя способами.

Число на 1 меньше наименьшего количества sfenicznej 29; она 4565 подразделений, среди которых точно 13 является отличным. Так же, 13 отделов превосходных имеет каждый и только каждый число на 1 меньше, чем sfenicznej.

Давайте вернемся к текущему году. 2015-это произведение трех простых чисел, сумма которых является квадратом (5+13+31=49), а кроме того, квадрат-это сумма двух из этих чисел: 5+31=36. Эти две особенности имеют факторы первых только двух меньших чисел sfenicznych– 506 (2+11+23=36; 2+23=25) и 1334 (2+23+39=64; 2+23=25). Может ли быть так, чтобы квадратами были: сумма трех простых чисел (a+b+c), а также:

(1) сумма любых двух из них (a+b, a+c, b+c)?

(2) сумма двух пар, двух из них (например, a+b и a+c)?

Начнем с подобного задания, находящегося в III Книге Арифметики Diofantosa:

Найти три целых числа, больше нуля, сумма которых является квадратом, а также сумма любых двух из них является квадратом.

Решая эту задачу сегодня, próbowalibyśmy найти какой-то шаблон или алгоритм, позволяющий определять – по крайней мере, теоретически – всех таких чисел. Можно было бы начать, например, так:

Мы ищем трех положительных целых чисел 0≤abc , таких, что:

a+b+c=v2, a+b=x2, a+c=y2, b+c=с2.

Отсюда:

2v2=2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(b+c)=x2+y2+z2

Кроме того:

2а=(а+b)+(a+c)–(b+c)=x2+y2–z2

2b=(a+b)–(a+c)+(b+c)=x2–y2+z2

2c=–(a+b)+(a+c)+(b+c)=–x2+y2+z2

Практически задача сводится к нахождению трех квадратов меньше, чем v —2, сумма которых равна 2v2, а затем вычислить соответствующие значения а, b и c. Компьютер справляется с этим мгновенно.

Решений бесконечно много и их можно разделить (как и тройки pitagorejskie) на первичные и вторичные. Тройки первичные не имеют общего делителя большего, чем 1 – первая [17,32,32]. Тройка вторичная образуется из исходного путем умножения любого числа на квадрат. Например [17,32,32]×4=[68,128,128]. Троек первичных, в которых 0<a<b<c,x:

a=2x+1, b=4x, c=x2-4x.

При такой записи сумма a+b+c, a+c и b+c всегда квадратами. А в случае четвертой суммы условие имеет вид уравнения с двумя неизвестными:

а+b=6x+1=(n-1)2=n2-2n+1.

Отсюда x=(n2-2n)/6 и для n=12 получаем х=20, а в конце трое [41,80,320].

Примитивные тройки „квадратные” почти так же интересно, как pitagorejskie, хотя и гораздо менее известные. Есть по крайней мере несколько интересных собственности. Например: каждую образуют два числа, являющиеся кратными 8 и одна на 1 больше кратного 8.

Задача о очень похожих троек появилось несколько лет назад на одной из математических олимпиад для учащихся средних школ:

Ли есть три различные нечетные числа такие, что сумма любых двух из них является квадратом числа естественной?

Обозначая искомое число в виде а, b, c, мы можем написать: а=2x+1, b=2y+1, c=2с+1. Если сейчас мы запишем три суммы: а+b=2(x+y+1), a+c=2(x+с+1), b+c=2(y+z+1), то каждая из них будет квадратом четного целого, а значит, будет делиться на 4. Отсюда следует, что суммы в круглых скобках являются четными числами, а сумма x+y, x+z и y+z – nieparzystymi. Это, однако, не является возможным, потому что два из трех чисел x, y, z должны быть четные или нечетные, а значит, одна из трех сумм будет четным. Это противоречие означает, что ответ на поставленный в задаче вопрос является отрицательным. Если ответ изменится, если в тексте задачи, вместо того, чтобы „три-нечетное число” вставке „три числа”? Вопрос имеет смысл, потому что одно простое число является четным. Связывается с ним первые конкурсные задания, решение которого является одновременно и ответ на вопрос (1). Вопрос (2) остается пока открытым.

Помимо принадлежности к чисел и tercetów sfenicznych 2015 можно отнести еще как минимум двух других мало известных „элит”. Одна из них-серьезная, вторая немного żartobliwa. Серьезную образуют числа Лукаса-Кармайкла – каждая из них удовлетворяет следующие три условия:

– нечетное,

– является произведением различных простых чисел,

– каждый ее фактор первый-это на 1 меньше, чем делитель числа, на 1 большего.

Это узкая элита, потому что миллион таких чисел 60 (399, 935, 2015, 2915, 4991, 5719, 7055, 8855, 12719,..). Давайте проверим 2015: 3, 13, 31 это ее факторы, в первую очередь, а 4, 14 и 32 множители 2016.

Значительно более узкой является żartobliwa элита называется двоичными числами Циклопа, т. е. такими, в которых двоичном обозначении возникает только один ноль-глаза расположены точно по середине. 2015 11111011111. Пара 2015 и 2016 имеет еще одно специфическое свойство: квадрат каждой из них состоит из одинаковых цифр (0,2,4,5,6). Следующую такую пару образуют 2183 и 2184.

На конец-то для суеверных: x3–x2–x=2015 для x=13, а пятниц тринадцатого касается вторых, конкурсные задания.

ЗАДАЧИ

  • У нас есть три положительные целые числа такие, что сумма любых двух из них является квадратом. Необходимо доказать, что два из этих чисел не может быть нечетным.
  • 2015 год следует в лет, в которых количество пятниц тринадцатого является наибольшей из возможных, то есть составляет три. Который на следующий год будет так же богат, по пятницам тринадцатого?

  • Цифры в записи умножения zasłonięto решеткой. Только цифра скрывается за розовой решеткой не является ни одним из имеющихся в числе 2015. Расшифровать умножение.
  • Решения просим присылать до 28 февраля т. г. по электронной почте ([email protected]), указав в теме письма пароль UG02/15, или по почте: Мир Науки, ул. по улице rzymowskiego проходят 28, 02-697 Warszawa. Среди отправителей правильного решения хотя бы одной задачи финале будут выбраны пять победителей, и мы награждаем их книгой Прощание с реальностью Jimma Baggotta ufundowaną издательством Prószyński.

    Марок Penszko, по образованию инженер полиграфии, является знатоком и popularyzatorem игр и развлечений умственные способности, в основном, математику отдыха. Сотрудничает со многими журналами, в частности, пишет блог для Политики.