Вершины, ребра и циклы

В 1859 году ирландский физик и математик Уильям Роуэн Гамильтон spłaszczył додекаэдр, если. Речь шла о том, чтобы dwunastościenna загадка его идеи, которая должна была появиться в продаже, была проста в серийном производстве и удобный в использовании. Dziełko Гамильтона было связано с raczkującą тогда теорией графов, то есть отделом математики, занимающимся объектами, состоящие из точек (вершин) и соединяющих их линий (ребер). Это отношение привело к тому, что головоломка, а на самом деле память о ней сохранилась до наших дней.

Рис. 1

Рис. 2

Уплощение многогранника не было механической травмы, но и особый тип перспективной проекции – таким, который отображает на плоскости вершины и кромки твердого тела в виде плоского графа. Из-за прозрачности и эстетику желательно, если это возможно, график был симметричен. Рисунок 1 показывает два проекций куба. Оба симметричны, хотя первый имеет один, а второй-четыре оси симметрии, но только второй может быть плоским графом, потому что его края никуда не пересекаются. Додекаэдр, если (рис. 2а) после сжатия сэра Гамильтона превратился в плоский граф, представленный на рис. 2b. В оригинальной головоломке-игрушке давности более чем на полтора столетия, вершины графа были отверстиями в деревянной пластине. Игра заключалась в размещении в них 20 пронумерованных kołeczków так, чтобы дорога, по краям колечки от 1 до 20 проходящий через последовательные числа, а также 1 и 20 находились на концах одной и той же грани. Иначе говоря, требовалось обойти все вершины, не видеть дважды в одном – кроме начального, который был также мета. Лицо у нее ассоциироваться с путешествием, потому что отверстия были обозначены первыми буквами названия городов, указанных в инструкции.

Головоломка Гамильтона, называется „Icosian game” (от греческого είκοσι – двадцать; число вершин), привело к появлению в теории графов трех понятий hamiltonowskich: дороги, цикла и графа. Дорога hamiltonowska проходит через все вершины графа – через каждый ровно один раз; цикл по закрытой, то есть такую, в которой начало и конец соединены с краем, а граф hamiltonowski это тот, который включает в себя цикл.

Рис. 3

Пометить цикл Гамильтона в графе dwunastościanu нетрудно, особенно после того как вы дали ему немного более простой, „круглой” формы (рис. 3). В примере на рис. 3a сначала нарисован отрезок, соединяющий три круга (темно-зеленая линия), затем объединяли остальные вершины на каждом круге (зеленый) и в конце добавили четыре края-контакты (seledynowe). В „Icosian game” задания были немного по-другому сформулированы, а головоломка, в соответствии с названием, напоминала игру. Один человек клала в лоток пять kołeczków с числами от 1 до 5 в последующих отверстиях, установив, таким образом, начало цикла. Вторая должна в определенное время положить, оставшиеся, создав полный цикл. Это было не слишком трудно. На рис. 3b зеленая линия, соединяющая пять вершин, это начальный фрагмент. Решение, то есть окончание цикла, может выглядеть так, как на рис. 3a – но не только. Существует еще один цикл с зеленым фрагментом – пожалуйста, пометить его. В руководстве, было также предложение другой игры, заключающейся в реконструкции дороги Гамильтона. В этом случае kołeczkami анализировали только три вершины, начиная свой путь и было отмечено верхушка, в котором должна она выйти. Пример задачи на рис. 3c – зеленые вершины и края означают начало и конец пути. Если первый способ игры, как головоломки всегда больше, чем одно решение, то второй может его вообще не иметь. В целом говоря, трудно указать в графе dwunastościanu две вершины, которых нельзя объединить по Хэмилтона, хотя цикл всегда можно.

Различных циклов hamiltonowskich на dwunastościanie 30, однако, все они по отношению друг к другу „близнецов” из-за симметрии, а точнее – группу симметрии этого тела. Его можно поэтому свести к одной основной цикл, например такой, как на рис. 3а. Гамильтон определил, что hamiltonowskie являются графики всех платоновских тел. С тех пор начались поиски критериев, которые должен выполнять график, чтобы он был hamiltonowski, а также способы определения по ним путей и циклов.

Graf каждого многогранника является выпуклой планарной, т. е. – в просторечии говоря – вы можете изменить его в граф плоский, перемещая вершины и растягивая края так, чтобы они не пересекали. Большинство графов, таких wielościanów является hamiltonowska, но не всех. Мельчайшие wyłamujące это dziewięciościan, которого все стены czworobokami (рис. 4а) и додекаэдр ромбические (рис. 4b). Легко проверить, что цикл hamiltonowskiego ни в одном из них вести нельзя, но стоит также привести умный доказательство. Заметим, что оба эти графики являются dwudzielne, т. е. вершины каждого из них можно разделить на две группы так, что никакие два из этой же группы не будут связаны краем. На рис. 4 группы вершин обозначаются разными цветами. Потому что каждый красный подключен кромкой только с черными и наоборот, так что в цикле цвета будут „переплетаться”, а, следовательно, и то, и другое должно быть столько же. Между тем, черных больше, чем красных, поэтому цикла быть не может.

Рис. 4

Рис. 5

В 1880 году шотландский физик Питер Tait выдвинул гипотезу, что каждый граф kubiczny, то есть такой, в которой всех вершинах сходятся ровно 3 ребра, hamiltonowski. Гипотеза просуществовала до 1946 года, когда английский математик Уильям Tutte представила график kubiczny niehamiltonowski в 46 вершинах и 69 краях. Девять лет спустя Joshua Lederberg (генетик, нобелевский лауреат 1958 года), обнаружил самый маленький известный до сих пор kontrprzykład – 38 вершин и 57 краю (рис. 5). В результате предположение Taita заменила гипотеза Barnette: каждый раздвоенным graf kubiczny является hamiltonowski. Доказательств пока не найдено, но установлено при поддержке компьютера, что гипотеза верна для всех графов с числом вершин меньше, чем 178.

Есть еще несколько других относительно небольших групп, графов, о которых можно сказать, что, безусловно, или с вероятностью в ближнем уверенности hamiltonowskie. Мы не знаем, в то время как ни в меру простого и надежного способа, позволяющего определить, является ли какой-то konretny graf этом, ни эффективного алгоритма поиска циклов Гамильтона. Проблема важна, так как она имеет также практическое значение. Оптимизация многоэтапных действий и процессов, в которых последовательность этапов не является заранее строго определена, сводится именно к поиску цикла или пути Гамильтона.

Мода на судоку, которая завоевала мир от семи лет назад, проложили путь другим видам головоломок, родом в основном из Японии. Некоторые из них заключается в определении цикла Гамильтона – чаще всего в графе типичным для большинства задач diagramowych, т. е. прямоугольном фрагменте сетки квадратной любого размера. График такой hamiltonowski, если состоит из четного строк или/и столбцов. В заданиях либо график немного изменен, либо условия так сформулированы, чтобы определяется цикл был только один. Таковы три следующие конкурсные задания. Все полагаются на отрисовки линий цикла hamiltonowskiego, проходящей светлыми коридорами. Во – вторых, вопреки видимости, – тоже такое есть, только цикл pokawałkowany.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

1. Пожалуйста, нарисуйте замкнутую полилинию, проходящий через все перекрестки, через каждое только один раз (рис. 6). Она должна обрушиться в любой синем перекрестке и не отчаиваться ни в коем розовым. В решении достаточно указать количество всех изломов линии.

2. Каждую пару одинаковых букв можно соединить линией (рис. 7). На каждом перекрестке должна принимать у себя одна и только одна линия. Линия не может пересекаться с буквы. В решении достаточно указать, сколько раз рушатся линии, соединяющие отдельные пары (например, A3, B5,..).

3. На некоторых перекрестках (рис. 8), находится блокировки (красные круги), но не все они раскрыты. Цифра и стрелка, выявленных в блокаде означают, сколько неявных блокировок находится на перекрестках, на которые указывает стрелка. Задача состоит в одновременном раскрытии всех блокировок и рисования замкнутой ломаной линии, проходящей через все свободные перекрестка – через каждое ровно один раз. Не все нераскрытые блокировки указаны стрелками и никакие две нераскрытые блокировки не находятся на соседних перекрестках. В решении достаточно указать количество неявных блокировок и количество изгибов линии.

Решения просим присылать до 30 апреля с. г. по электронной почте ([email protected]), указав в теме письма пароль UG04/13, или по почте: Мир Науки, ул. по улице rzymowskiego проходят 28, 02-697 Warszawa. Среди отправителей правильных решений, по крайней мере, двух задач финале будут выбраны пять победителей, и мы награждаем их книгой Маркуса Chowna, Goverta Шиллинга просто Вселенная, ufundowaną издательством Prószyński Сми.

Решение задач с февральского номера

1. 36, 225, 900, 10404.

2. 134689

3. 16 и 256 или 31 и 961.

4. x1=1/x, x2=x+1, x3=1/x2=1/(x+1), x4=x1–x3=1/x–1/(x+1)=1/(x2+x), x5=1/x4=x2+x, x6=x5–x=x2.

За правильное решение как минимум двух задач приз, книгу Джона Gribbina Почему мы, ufundowaną издательством Prószyński Сми, получают: Лука Роза из Гданьска, Борис Sochoń из Варшавы, Симон Sowiński с Niepołomic, Михаил Szeruga из Вроцлава, Юрий Trzyna с Hyżnego.