Хотя шахматы трудно назвать игра математический, между королевой наук
а королевская игра вы можете найти много связей.

Как правило, это отношения формальные, то есть о доски и фигур, а не самой игры. Вопросы с ними связанные можно, правда, рассматривать, не обращаясь к шахмат, но игра более ярко, интереснее, а иногда и проще. Типичный пример представляет собой старый задачу о количестве зерен пшеницы, размещенных на шахматной доске следующим образом: один-на первом поле, два на второе, четыре на третье и так далее. – на каждый следующий вдвое больше, чем на предыдущем. Трудно поверить, что для покрытия, таким образом, 64 полей не хватило бы хлеба на Земле, хотя нетрудно вычислить сумму выражений геометрического прогресса.

Другой пример – проблема из области комбинаторной геометрии или теории графов: квадрат разделен на 64 квадратных поля (8×8); насколько, по крайней мере, полей, следовало бы отметить, чтобы в каждом ряду параллельно берегу или к диагонали квадрата нашлось одно отмеченные флажком? Было бы, наверное, очень нишевые задачи, если бы не его шахматная модификации популярна уже несколько сотен лет: установите на шахматной доске четыре hetmany так, чтобы они нападали на все свободные поля. Только в середине XIX века было показано, а на самом деле кропотливо проверили, что это не возможно. Простое доказательство, что четыре hetmany не хватит, не известно, но как бы их не размещать, всегда по крайней мере два поля останутся nieatakowane. Настройки совершенно различных (с точностью до отражений и вращений) с пара niezagrożonych полей есть восемь. Все можно представить на двух диаграммах (рис. 1) – на каждом расположены с наложением друг на друга четыре настройки в следующих позициях (повернутые или/и отраженный), что в поле не попадают два обозначения. Такие „лыжах весь” нанесение назовем superpozycją rozłączną. Параметры на рис. 1 отличаются цветом; в nieatakowanych полях звезды.

Рис. 1

Задача о четырех hetmanach принадлежит головоломок физико-шахматы, заключающихся в такой расстановке на шахматной доске, указанных фигур, чтобы их расположение соответствовало указанные условия. К ним относятся и более известные в XIX-вечная задача, в которой речь идет о значение на шахматной доске восьми военачальников так, чтобы ни один из них не атаковал другого. Решить их легко, хотя это занятие скучным и схематичным – идеально подходит, чтобы написать алгоритм и использовать с компьютера, поэтому часто появляется как упражнение для начинающих программистов. Компьютер мгновенно находит 12 совершенно разных решений (рис. 2).

Рис. 2

До 60 лет тому назад в Соединенных Штатах америки в магазинах игрушек можно было купить игру для одного человека под названием hoodoo. Она включала несколько головоломок, заключающихся в размещении цветных kołeczków в отверстиях квадратной доске. В самой сложной были 64 kołeczki, по восемь в восьми различных цветах, а система 64 отверстий был такой, как поля шахматной доски. Все kołeczki следовало разместить так, чтобы ни в одном ряду, параллельном краям или диагонали доски, не было двух в таком же цвете. Весело даже, как в 50-е годы. была не слишком изысканная, но пикантности добавляло ее награда – первое лицо, которое uporałaby с задачей, ждал.. миллиона долларов. В версии шахматной, как правило, звучали кратко и лаконично: найти superpozycję rozłączną восьми решений проблемы восьми военачальников. Наверное, много времени было утрачено на бесплодные борьбы с этим заманчивое миллионами головоломки, ибо мало кто знал, что уже в 1914 году английский юрист и математик-любитель Thorold Gosset показал в простой и элегантный способ, что решение не существует. Доказательство сводится к обозначения на шахматной доске 20 полей (рис. 3).

Рис. 3

Рис. 4

По крайней мере, три из этих полей занимают hetmany в каждом из 12 решений на рис. 2. Rozłączna superpozycja даже семи решений не будет, так что невозможно, потому, что на обозначенных в 20 полях найдется по крайней мере 21 военачальников. Таким образом, наложить на себя можно, самое большее, шесть решений, которые займут 48 полей. Пример одной из таких суперпозиции представлен на рис. 4. Среди шести составляющих ее решений являются только два различных, соответственно, отраженный или/и поворачивается – четыре „2” и две „10” с рис. 2. Задача оказывается гораздо сложнее, после добавления условия, чтобы совершенно разные были все наложенные решения. Тогда невозможным является не только rozłączna superpozycja шести решений, но, вероятно, также пяти. Не образом, даже „плавно” наложить на себя некоторых пар решений, например, „5” и „6” или „6” и „12”, несмотря на то, учета отражений и поворотов. Однако можно создать три раздельные суперпозиции, охватывающих все 12 решений – по четыре решения в каждой, то есть представить все решения hetmańskiego проблемы на трех диаграммах (рис. 5; hetmany заменены цифрами, соответствующими номерам решений на рис. 2).

Рис. 5

Возвращаясь к игре худу, а точнее в ее сводном варианте (доска n×n) – в 1918 году венгерский математик Джордж Polya показал, что решение (во главе заполнение всех полей) не существует не только для n=8, но для каждого n podzielnego через 2 или 3. Позже выяснилось, что выводы Pólyi верны только для nn=5, 7 и больше 10) профинансировать строительство изготовителем награды миллион долларов будет означать его банкротство.

Другой интересный вопрос связан с проблемой восьми военачальников касается варианта этой задачи, в котором как будто увеличен радиус атаки фигур. Это происходит благодаря „отражают”, расположенному на одном берегу шахматной доске на расстоянии, равном половине ширины поля. Диагональная линия атаки, отражается от него как луч, и по возвращении может попасть в другого гетмана. Основной принцип такой, как в прототипе: восемь военачальников нужно располагать так, чтобы себе не угрожали. Решение нетрудно найти, установив по очереди зеркало на каждой стороне каждого из 12 решений на рис. 2. Например, пятое решение с зеркалом с правой стороны отпадет, потому что две пары военачальников угрожают себе после отскока (пунктирные линии на рис. 6); однако, если зеркало мы поставим внизу, никакой угрозы не будет. В общем, остается пять решений: 5 и 9 с зеркалом внизу и 7, 9 и 11 с зеркалом с левой стороны.

Рис. 6

Самое интересное в этой задаче, однако, что другой – его удивительно, сопряжение с какой-то проблемой из области теории чисел. Проблема касается течение целых чисел от 1 до 2n; для n=8 это число от 1 до 16. Мы объединяем их в пары, и мы рассчитаем сумму и разность чисел в каждой паре, но следует сделать это так, чтобы все 2n sum и различий было разными числами. Доказано, что такие наша парочка возможны для каждого n≥3; сколькими способами можно это сделать, известно только для n≤10.

Рис. 7

Рассмотрим теперь решение 5 с рис. 2 с зеркалом внизу и ponumerujmy ряда, как в шахматах – числами от 1 до 8 снизу вверх, а затем колонны от 9 до 16 (рис. 7). Рассматривая эти числа как координаты, выпишем координаты всех военачальников – каждая указан двумя числами в таблице. В правом столбце их сумма и различия – пожалуйста, обратите внимание на то, что каждый из этих чисел отличается, то есть – как ни странно – пары координат представляют собой одно из решений этой проблемы исчисления для n=8.

Откуда такое совпадение вопросов, казалось бы, отдаленных друг от друга? Вот загадка, может быть, труднее, чем каждая из четырех соседних hetmańskich головоломок конкурсных.

1. Задача заключается в выполнении трех шагов в одном из решений проблемы восьми военачальников (рис. 8). Необходимо:

– проведите одного из военачальников (в соответствии с принципом его движения),

– возможна установка на шахматную доску еще одного, девятого ферзя,

– разместить на шахматной доске пешка.

Рис. 8

Движения должны быть такими, чтобы при их исполнении по-прежнему нет двух hetmany друг друга не атаковали.

2. На мини-доске 4×4 (рис. 9) установите восемь военачальников так, чтобы каждый атаковал различное количество свободных полей – от нуля до семи. Два hetmany уже на правильных полях, остается добавить шесть.

Рис. 9

3. Пять военачальников на рис. 10 не атакует 15 полей (желтые). Задача состоит в dostawieniu для этой системы еще трех военачальников так, чтобы при восьми hetmanach количество nieatakowanych полей не упала ниже 11.

Рис. 10

4. Три hetmany и две башни стоят в боевом строю, в нижней части игрового поля, готовые к ее освоить (рис. 11); в случае господствуют над полями 52 – atakowanymi и/или zajmowanymi (серые). Любой фигурой, необходимо выполнить одно движение – совместим со способом ее движения – так, чтобы после пяти ходов все поля шахматной доски были освоены. Движения башнями известны: Wd1-d8 и Wf1-f4. Какие должны быть три действия hetmańskie?

Рис. 11

Решения просим присылать до 31 мая т. г. по электронной почте ([email protected]),
указав в теме письма пароль UG05/13, или по почте: Мир Науки, ул. по улице rzymowskiego проходят 28, 02-697 Warszawa. Среди отправителей правильных решений, по крайней мере, трех задач финале будут выбраны пять победителей, и мы награждаем их книгой
Понять непостижимо Леона Ledermana и Кристофера Хилла, ufundowaną издательством Prószyński Сми.