Американский актер Robert Trebor, это, наверное, единственный широко известный человек (в россии, в основном, из сериала Геркулес), которую можно назвать „двойным palindromową”. Во-первых, потому, что его имя с фамилией образуют палиндром, а во – вторых, два года в его жизни были palindromami: 1991 и 2002. Первая особенность-это крайне редкое; на ум приходит еще только kambodżański политик Lon Nol. Вторая – наоборот, для большинства людей, живущих в наше время, однако, года до 2002 на период, охватывающий более 900 лет, очень трудно было бы найти кого-то такого возраста, чтобы он мог „zaliczeniem” пары palindromowych лет похвастаться.

Из приведенных примеров легко сделать вывод – если кто-то, что маловероятно, пока не столкнулся с palindromem – что это определение касается слова, группы слов (как правило, образующих грамматически правильное и конструктивное целое), либо числа, которые не изменяются после сохранения, только наоборот. Иначе говоря, речь идет о такие линейные схемы букв или цифр, в которых символы расположены симметрично.

Слово палиндром создал в XVII веке английский писатель Бен Джонсон, соединив греческие слова пэйлин („повторно”, „наоборот”) и дромос („бег”), можно перевести как „бегущий обратно”. Долгое время это касалось оно только конструкции языка, а укладка и сбор палиндромов было и иногда еще своеобразным хобби; в польском языке его ядро является фраза „кобыла имеет небольшой сторону”. С середины XX века математики называют palindromami числа с симметричным расположением цифр, а с недавнего времени они появились и в других науках, например, в генетике (последовательность palindromowa ДНК) и информатике (коллекция palindromowe в теории формальных языков)

Если palindromy слова являются почти исключительно особенность и весело, столько с числовыми связано несколько интересных вопросов из области теории чисел. Палиндромов числовых, конечно, бесконечно много, начиная от тривиальных одном (0, 1, 2, 3,..) и их dubletów (..11, 22, 33,..). Вопрос о том, сколько их, следовательно, имеет смысл только в том случае, если это касается какого-то диапазона. А так: сколько палиндромов n-цифровой для n=1, 2, 3,..? Каждый из девяти 2-и цифровых, от 11 до 99, можно изменить 3-значный на 10 способов, вставляя в середину одной из цифр. В свою очередь, каждому 3-цифровому схемы aba соответствует ровно один 4-значный abba. Обобщающее эти зависимости: палиндромов (2n+1)-цифровые в 10 раз больше, чем 2n-цифровых, которые, в свою очередь, столько же, сколько (2n-1)-цифровые – для каждого n , за одним исключением: из двух цифр 10, то есть на один больше, чем цифр, потому что нужно учитывать нулевой. Отсюда последовательность чисел палиндромов n-цифровых: 10, 9, 90, 90, 900, 900, 9000, 9000, 90 000.. Чем больше palindromy, тем реже встречаются в течение натуральных чисел. От 151 до 161 находится всего в десяти шагах, но от 7 298 927 на следующий уже сто раз дальше.

Интересный собственностью палиндромов является разделение большинства из них 11. Если кто-то из Вас хочет самостоятельно измерить с доказательством того, что в течение 11-делиться все palindromy, состоящие из четного цифры, должен теперь прекратить чтение. Эффективным, но не очень элегантно было бы использовать особенности делимости на 11. Итак, начнем по – другому- начиная с представления 2n-цифровой palindromu a1a2..an-1ananan-1..a2a1 в виде:

a1102n-1+a2102n-2+..+an-110n+1+an10n+an10n-1+an-110n-2+..+a2101+a1100

После сокращения получим:

100a1(102n-1+1)+101a2(102n-3+1)+..+10n-2an-1(103+1)+10n-1an(101+1)

В каждом компоненте в скобках указано число на 1 больше, чем нечетного кратного 10 (11, 1001, 100001,..). Легко доказать, например, по индукции, что эти числа кратны 11. Таким образом, в течение 11 делится также сумма кратных чисел таких чисел, а значит, каждый палиндром, состоящий из четного цифры. А среди палиндромов с нечетное число цифр (2n+1), в среднем, только каждый одиннадцатый делится на 11. Их точное число выражается формулой:

pn=[(10n+1+(-1)n]/11.

Palindromy могут быть квадратами (0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, 69696, 94249, 698896, 1002001,..), кубами (0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, 10662526601, 1000300030001,..) и первыми числами (2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501,..). После приведенном выше доказательстве не удивительно, что среди последних есть только одна состоит из четного цифры.

Из некоторых квадратов и простых чисел-математика любители отдыха построили очаровательные пирамидки – два примера на рис. 1. Вторая piramidka состоит из простых чисел, и это наибольшее, что можно из простых чисел построить, начиная от количества jednocyfrowej и, конечно, сохраняя при этом характерную urokliwość. Основой почти всех palindromowych кубов, также есть palindromy; 10 662 526 601 является единственным, основание которого (2201) не palindromem. Раритет представляет квадрат 698 896 – самый маленький и один из очень немногих, состоящие из четного цифры (следующий 12-значный). Других интересных вещей и особенностей, связанных с palindromami можно было бы привести довольно много, но самым зрелищным связаны с операцией под названием „реверс » и » добавить”.

РИС. 1

РИС. 2

В 1938 году американский математик Деррик Lehmer описал некую необычную свойства чисел, а на самом деле простого циклического процесса, которому их можно произвести: в нужное количество, добавляем ее же, но записанную задом наперед; с полученной суммой, и с каждой последующей поступаем так же, до тех пор, пока как очередная сумма появится палиндром. Если бы номер был, например, упомянутый год, то есть в 1938, это конец, указывающих позицию на третьем этапе (рис. 2). Большинство малых чисел, начиная с 10 (исключаем palindromy, которые „обработки” не требуют), достигает palindromu в одном шаге. 19 первая, требующую двух шагах (19+91=110 → 110+011=121), 59 – три (59+95=154 → 154+451=605 → 605+506=1111), 69 – четыре (те же суммы: 69 → 165 → 726 → 1353 → 4884). Наименьшее, при которой нужно надежно журналах, 89 – палиндром появляется только в качестве 24. сумма равна 8 813 200 023 188. Однако это ничто по сравнению с „тяжелым испытанием”, которую предлагает число 196. Lehmer выполнил до 76 лет назад около ста dodawań – безрезультатно. Не преминул, однако, заметить, что 56. сумма очень близка к целевой, ибо выглядит так:

934217310162393261013712428.

Вероятно, эта близость к перспективным подтолкнула его к постановке гипотезы, что каждое число подвергается opisanemu процесс превращается в палиндром – все это только вопрос этапа, в котором это происходит. 196 это не единственная „krnąbrna” число, но самая маленькая, поэтому ее в первую очередь занялись разработчики, когда в действие вступили компьютеры.

Первым вызов принял Джон Уокер – основатель известной компании Autodesk, занимающейся программным обеспечением, запустив в 1987 году программа на рабочей станции Sun 3/260. После почти трех лет непрерывной работы и выполнения 2 415 836 операции „реверс » и » добавить” компьютер добрался до числа, состоящей из миллиона цифр и остановился. Palindromu не было. Преемники Уокера продвигались все дальше и дальше, используя все более компьютеров. Один из них по-прежнему 196 и другим не менее тугоплавким числа имя, которое он принял – количество Lychrel, которая якобы анаграмма из фразы имя одной леди (вероятно, столь же недоступной, как и все еще недостижима палиндром) – Cheryll.

Текущая запись в трек от 196 до palindromu владеет французский программист Ромен Dolbeau, который в конце 2011 года достиг после триллионе шагов на количество сложной из 413 930 770 цифр. Конечно, цели не достигнув. Кажется, что это конец „безумию”, то есть, что дальнейшей разведки не будет. Шанс добраться до гигантского palindromu уменьшается вместе с wydłużaniem суммы. Практически уже равна нулю, и многое указывает на то, что предположение, данное Lehmera следует считать ошибочным. Тем более, что для систем счисления меньших основаниях, чем десятичная было доказано, что некоторые номера подвергаются операции „инвертировать и добавить” никогда не изменятся в палиндром.

В двоичной системе счисления наименьшее такое число 10 110, соответствующее 22 в десятичной системе счисления. Немецкий математик Роланд Sprague еще в 60-х годах. он дал простое доказательство, что превращение ее в палиндром не возможно. Он отметил, что в течение сумм, начиная с четвертого, циклически повторяются четыре схемы чисел. Например, для четвертого суммы, равной 10110100 схеме 10(1)n01(0)n. Для этой суммы, n=2, для восьмого – 3, для двенадцатого – 4 и т. д. – схема остается такой же. Как эта схема, как и каждый из трех оставшихся исключает появление palindromu. Найти доказательства для десятичной системы в конечном итоге решило бы проблему и odesłało числа Lychrel в прошлое. К сожалению, до сих пор никому это не удалось.

ЗАДАЧИ

1. Судоку, но с дополнительным условием (рис. 3). В пустые поля введите числа от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке, каждом столбце и в каждом квадрате 3×3 ограниченным толстой линией нашлось девять различных цифр. Дополнительное условие связано с голубыми линиями сломленными: цифры, которые найдутся на каждой из этих линий (цифр 7 или 9), следует создать палиндром. В решении достаточно указать сумму 17 цифр на обеих диагоналях.

РИС. 3

2. Из 35 первых палиндромов – от 0 до 252 – выбрано 16 и создали из них магический квадрат 4×4, то есть такой, в которой сумма (называемая суммой волшебный) четырех чисел в каждой строке, столбце и на обеих диагоналях одинакова. На рис. 4 находятся: слева – 35 номеров, из которых выбор был сделан, справа – квадрат архивах с 4 числами. Задача заключается в заполнении соответствующими числами, остальные 12 полей так, чтобы образовался упомянутый магический квадрат. Его волшебная сумма также должна быть palindromem. В решении достаточно указать эту сумму.

РИС. 4

3. Каково наибольшее число натуральное, где каждая цифра – кроме первой и последней – меньше, чем среднее арифметическое двух соседних с ней цифр?

Решения просим присылать до 30 июня т. г. по электронной почте ([email protected]), указав в теме письма пароль UG06/14, или по почте: Мир Науки, ул. по улице rzymowskiego проходят 28, 02-697 Warszawa. Среди отправителей правильных решений, по крайней мере, двух задач финале будут выбраны пять победителей, и мы награждаем их книгой Иена Стюарта Великие математические проблемы, ufundowaną издательством Prószyński Сми.

Марок Penszko, по образованию инженер полиграфии, является знатоком и popularyzatorem игр и развлечений умственные способности, в основном, математику отдыха. Сотрудничает со многими журналами, в частности, пишет блог для Политики.

Решение задач с номера апрельской

1. Узор на емкость в пояснице: КТ=PA*PB+1*PD*ПК+1+PA+1*PB*PD+1*ПК

2. Описанное имущество имеют прямоугольники, в которых число полей вдоль одного бока нечетное.

3. Маршрут с остановками в соответствии с описанием, можно провести в каждом прямоугольнике (ее основное направление должно быть параллельно по отношению к стороне с четной количеству полей).

4. 8 domin.

Задания были в этот раз сложнее, чем обычно – в основном проблемные, а один (3), даже немного трусливый – так что ответ мы получили гораздо меньше, чем обычно, в этом только два набора из, по крайней мере, двумя задачами rozwiązanymi правильно. Их авторы заслуживают, так что не только на награды, – что очевидно, – но и на поздравляем.

За правильное решение как минимум двух задач приз, книгу Брайана Кокса и Джеффа Forshawy Квантовый Вселенная. Почему случается все, что может случиться, ufundowaną издательством Prószyński Сми, получают: Григорий Адамский с Śmiłowa и Фома Миндаль из Познани.